拉格朗日插值分析与实现

介绍

在实际生活中，我们常常需要通过观测来获取某些数据，这些数据有时候是连续的，有时候却是离散的，对于这些数据，我们希望找到一个方便运算的函数 $P (x)$ 能接近真实的函数 $f (x)$ ，求得这个 $P (x)$ 的过程就叫插值。插值的方法有很多种，这里重点介绍拉格朗日插值。

分析

假设已知n+1个节点，这样就可以构造n次多项式 $L_{n} (x)$ ，其中 $L_{n} (x)$ 满足
$L_{n} (x_{j}) = y_{i}, j = 0, 1, \dots, n .$
也就是说，插值多项式在已知节点上的值必须是和已知值相等的。
然后我们就需要构造一个完整的插值多项式 $L_{n} (x)$ 。构造 $L_{n} (x_{j})$ 的一个思路是使用 $y_{0}, y_{1}, \dots, y n$ 这些点的线性组合，我们就需要定义n次插值的基函数 $l_{j} (x) (j = 0, 1, \dots, n)$ ，它满足
$l_{j} (x_{k}) = {\begin{cases} 1, k = j, 0, k \neq j \end{cases}$
通过推导，这里直接给出n次插值基函数的形式：
$l_{k} (x) = \frac{(x - x_{0}) \dots (x - x_{k - 1}) (x - x_{k + 1}) \dots (x - x_{n})}{(x_{k} - x_{0}) \dots (x_{k} - x_{k - 1}) (x_{k} - x_{k + 1}) \dots (x_{k} - x_{n})}, k = 0, 1, \dots, n$
故我们可以得出完整的拉格朗日插值多项式
$L_{n} (x_{j}) = \sum_{k = 0}^{n} y_{k} l_{k} (x_{j}) = y_{j}, j = 0, 1, \dots, n$

代码实现

这里给出的是一个拉格朗日插值函数，输入一系列插值点，以及要求的点，然后函数输出一个插值后的结果。
Matlab代码：

% 拉格朗日插值
function [y0] = Lagrange(x,y,x0)
format long;
% x,y是给出的插值点，x0是要求的值
y0 = 0;
n = length(x);
l = ones(1,n); % 插值基函数
for k = 1:n
    for j = 1:n
        if j ~= k
            l(k) = l(k)*(x0-x(j))/(x(k) - x(j)); % 计算每一个插值基函数
        end
    end
end

% 求解
for i = 1:n
    y0 = y0 + y(i)*l(i);
end

小结

拉格朗日插值多项式的次数决定着插值结果的精确程度，也就说输入的点越多，插值的结果就越精确。
拉格朗日插值法是众多插值法中比较简单的一种，其精确度也较高，实现起来比较容易。除此之外，还有牛顿插值法等方法，等我理解了后再和大家分享。拉格朗日插值法的分析与实现就到这里了，谢谢！

参考资料：

1.数值分析（第5版）李庆扬，王能超，易大义编